Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo K , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacional mente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de Gauss-Seidel.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
- el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible) .
- el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
- el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
Un sistema de la forma Ax = 0 se le llama sistema homogéneo. El conjunto de todas las soluciones de este tipo de sistema se le llama núcleo de la matriz y se escribe como Nuc A.
Se han diseñado algoritmos alternativos mucho más eficientes a la eliminación de Gauss-Jordan para una gran cantidad de casos específicos. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²). Algunos de los métodos más usados son:
- Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz de Toeplitz simétrica, se puede utilizar la recursión de Levinson o alguno de los métodos derivados de éste. Un método derivado de la recursión de Levinson es la recursión de Schur, que es ampliamente usado en el campo del procesamiento digital de señales.
- Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz singular o casi singular, la matriz A se descompone en el producto de tres matrices en un proceso llamado descomposición de valores singulares.
Solución de sistemas lineales en un anillo
Los métodos para resolver el sistema (1) sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. De hecho la mayoría de métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a que no existen inversos multiplicativos.
1. Para cada i
es divisor de bi .
2. Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un conunto de enteros formado por el conjunto de enteros que satisface la i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección
.
No hay comentarios:
Publicar un comentario