Metodos

Existen dos métodos:

Método Directo:

• Ax =b
• x = A\ b
• Tamaño moderado
• Modifican la estructura
• Error de redondeo

Método Iterativo:

• x = Cx + d
• x(k+1) = Cx(k) + d
• Tamaño grande
• Conservan los ceros
• Error de truncamiento

A continuación veremos los métodos estudiados en clase.

Métodos Iterativos de sistemas Lineales

1. Método de Jacobi:
Forma “algebraica”

Para i = 1, 2, ..., n








El método de Jacobi se denomina también de los desplazamientos simultáneos pues cada ecuación se cambia simultáneamente teniendo en cuenta los índices de las componentes del vector que se ha calculado precedentemente:





Forma “matricial”

En general para un sistema de n x n siendo A la matriz de un sistema de forma:

Vamos a suponer que A fuera reordenada de modo que todos sus elementos de la diagonal sean nulos:















Si consideramos que el lado derecho del sistema como los elementos de un nuevo paso de interacción (k+1) de los elementos del lado derecho como elementos del paso anterior (k), tendremos:













Ejemplo de método Jacobi:

Resolver la siguiente ecuación:
3x + y – z = 11
x + 7y -2z = 10
x + 3y - 9z= 12

Resolviendo:
X k+1 = (11-yk+zk)/3 => F(y,z)
y k+1 = (10-xk+2zk)/7 => G(x,z)
z k+1 = (-12+xk+3yk)/9 => H(x,y)

Asumiendo que los valores iniciales son x0 = 0; y0 = 0; z0 = 0 se reemplaza:
x1 = (11- y0 + z0) /3 = 11/3
y1 = (10- x0 + 2z0) /7 = 10/7
z1 = (x0+ 3y0 - 12)/9 = 4/3



2. Método de Gauss-Seidel
La iteración de Gauss-Seidel es una mejora de del método anterior, para lo cual requiere de un menor número de iteraciones.

Forma “algebraica”








Forma “matricial”












Siendo de la forma:











Una condición suficiente de convergencia:



entonces el proceso iterativo



a partir de x(0) cualquiera, es convergente hacia la solución de x = B x + c, que existe y es única.

Sea cualquiera de las normas, cuando hay convergencia, debe verificarse:





Nota:

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución.

Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.